Учитель написал(а):Владимир53 написал(а):
....можно еще немного добавить.
Точно...и желательно добавить, что ты ни хрена не понял само уравнение!
...
Первую космологическую модель попытался построить Эйнштейн на основе своих уравнений. Он исходил из предположений об однородности и изотропии, наряду с предположением о неизменности свойств космологической модели во времени. Статичность модели достигалась за счёт введения в уравнения Эйнштейна т.н.космологического члена (L-члена), характеризующего действие гипотетических сил отталкивания, способных противостоять силам тяготения. А. А. Фридман показал в 1922 г., что статический мир Эйнштейна является лишь частным решением гравитационных уравнений для однородных и изотропных моделей, а в общем случае решения зависят от времени. Более того, если не вводить L-члена, то решения обязаны быть зависящими от времени. Поскольку эти решения описывают усредненное распределение вещества в Метагалактике, то отсюда следует вывод о ее нестационарности. В отсутствие градиентов давления и любых др. сил, противостоящих тяготению, статичность системы невозможна. Её поведение определяется силами притяжения и начальными условиями. Начальные условия могут быть заданы так, что начальное расширение будет либо продолжаться неограниченно долго, либо сменится в конце концов сжатием. Нестационарные решения уравнений Эйнштейна, основанные на постулатах однородности и изотропии, наз. фридмановскими решениями или фридмановскими космологическими моделями.
При выводе соответствующих уравнений наблюдаемое распределение галактик и межгалактического вещества заменяют идеализированной сплошной средой с плотностью r и давлением p. Связь между r и p устанавливается уравнением состояния, которое на отдельных участках изменения r и р принимают в виде p = arc2, где a = const. Напр., для пылевидного вещества p = 0 (a = 0), для излучения p = l/3rc2 (a = 1/3)- Для удобства анализа протекающих процессов выбирают т. н. сопутствующую систему координат, т.е. систему координат, которая сама деформируется, а вещество относительно неё не движется. В сопутствующей системе координат все "потенциалы" гравитационного поля (компоненты метрического тензора) определяются через единственную неизвестную функцию R(t), которая играет роль общего масштабного фактора. Она указывает закон, по которому меняется со временем расстояние между точками, имеющими пост. значения сопутствующих координат. Элементы среды имеют неизменную разность сопутствующих координат и разделены постоянным интервалом dl, а физ. расстояние dL(t) между этими элементами среды изменяется со временем по закону dL(t) = R(t)dl. Кривизна трёхмерного пространства также определяется функцией R(t). Кривизна при некотором t = t* равна k/R2 (t*), где значениям k = +1, 0, -1 соответствует положительная, нулевая и отрицательная кривизна. При k = +1 объём трёхмерного пространства конечен и в каждый момент времени выражается формулой V = 2p2[R(t)]3.
В релятивистской космологии изменение z частоты света, испущенного в момент времени t с частотой v и принятого в момент времени t0 с частотой v0, выражается формулой:
z = (1)
Для описания эволюции космологической модели необходимо знать функцию R(t). Она определяется уравнениями Эйнштейна. Если считать L = 0, то уравнения Эйнштейна можно привести к двум независимым уравнениям:
rR3(1-a)=const,(2)
(3)
Их следствием является уравнение
(4)
явно указывающее на роль давления в создании гравитационного поля (р = arс2). В этих уравнениях "постоянная" Хаббла H(t) определена как
H(t) = (5)
Удобно ввести параметр W = r/rс. При известном значении a функция R(t) полностью определяется значениями величин W и H в какой-либо момент времени. В настоящее время наблюдается расширение Вселенной. Характер дальнейшей эволюции зависит от величины W. Если W Ј 1, то расширение будет продолжаться неограниченно долго, если W > 1, то оно сменится сжатием. Величина W определяет также, согласно (11), знак k, т. е. знак кривизны пространства сопутствующей системы отсчёта. Для современной эпохи rc » 5.10-30 г/см3 при Н = 50 км/(с.Мпк). Из подсчётов числа галактик (а также по данным о распространённости дейтерия) следует, что r < rс и W » 0,03-0,06. Это значение соответствует открытому миру (k = -1) и неограниченному расширению Метагалактики. Однако во Вселенной могут присутствовать не обнаруженные ещё виды материи, дающие свой вклад в плотность r. На основании всех имеющихся сейчас наблюдательных и теоретических сведений полагают, что W0весьма близок к 1, так что k » 0.
В случае a = 0, т. е. р = 0, релятивистские уравнения (2) и (3) совпадают по форме с нерелятивистскими. Следует помнить, что интерпретация входящих туда величин и соотношений, вытекающих из этих уравнений, совпадает с нерелятивистской лишь для не слишком протяжённых областей и промежутков времени. Однако космология интересуется именно случаем максимально больших расстояний и промежутков времени. Т.о., современная космология по необходимости является релятивистской.
В частности, формула z = H.r/c для связи расстояния и красного смещения оказывается лишь линейным по z членом разложения точной формулы (1). При малых zпод величиной r здесь можно понимать обычное расстояние в евклидовом пространстве. При измерениях внегалактических расстояний чаще всего используют связь между истинной светимостью объекта l и видимым потоком излучения i либо связь между его истинным диаметром D и видимым угловым диаметром J. В соответствии с этим существуют понятия фотометрического расстояния rФ = (I/4pi)1/2 и расстояния по угловому диаметру rу = D/J, причём rФ = (1 + z)2rу. В евклидовом пространстве и для неподвижного источника r = rФ = rу. В релятивистской космологии эти равенства выполняются приближённо, тем точнее, чем меньше z. Пользуясь, например, фотометрическим расстоянием, можно вывести связь rФ с z, доступную проверке в наблюдениях далёких галактик и, с др. стороны, позволяющую судить о параметрах космологической модели.
С учётом квадратичных по z членов из (9) получают приближённую формулу
rФ = ,
где q = 1/2 W (1 + 3a) - т. н. параметр замедления, определяющий скорость торможения расширяющейся Вселенной в рассматриваемой модели.
К сожалению, имеющихся наблюдательных данных недостаточно для получения точной зависимости rФ(z) и надёжного определения величины W. Хотя в современную эпоху a мало и им можно пренебречь, главная неопределённость связана с тем, что расстояние rФ определяют по видимым светимостям объектов в предположении, что их истинные светимости известны. Однако для далёких объектов, наблюдаемых на ранней фазе их развития, существенным является неизвестный фактор эволюции - зависимость светимости от времени. Т.о., определение параметра W из наблюдений зависит от неизвестного фактора эволюции.
В релятивистской космологии эволюция модели определяется не только плотностью r, но и давлением р, т. космология давление (поток импульса материи), согласно ОТО, "весит" - обладает способностью создавать гравитационное поле [см.уравнение (4)]. В прошлом, когда вклад реликтового излучения в полную плотность материи был доминирующим, давление определялось излучением: p = 1/3rc2. Конечно, положительное давление не могло вызвать наблюдаемого расширения Метагалактики, поскольку оно, в силу своего гравитационного воздействия, не ускоряет расширение, а, наоборот, замедляет его. Качественно зависимость R(t) при p > 0 имеет тот же характер, что и при р = 0. Следует отметить, что сейчас обсуждаются теоретические модели, согласно которым состояние материи в очень далёком прошлом соответствовало значению р < 0, и тогда характер эволюции R(t) существенно меняется.
Вероятно, самым значительным свойством однородных изотропных моделей является ограниченность их эволюции во времени и наличие особых (сингулярных) состояний, в которых R(t) обращается в нуль, а плотность материи - в бесконечность. Одно время считали, что наличие сингулярностей является следствием упрощающих задачу предположений об однородности и изотропии Вселенной. Однако теоретические исследования уравнений Эйнштейна, проведённые в последние два десятилетия, указывают на то, что сингулярности является общим свойством решений этих уравнений при выполнении некоторых дополнительных предположений о свойствах материи. Конечно, вблизи сингулярности решения классических уравнений неприменимы, там должны проявляться квантовые свойства гравитационного поля.
Ограниченность эволюции во времени приводит к понятию возраста Вселенной. В простейшей модели с k = 0, р = 0 из уравнений (10) и (11) с учётом (13) следует: t0 =2/3 Н-10, т. е. от сингулярности до современной эпохи прошло время t0 » 13.109 лет.
Первую космологическую модель попытался построить Эйнштейн на основе своих уравнений. Он исходил из предположений об однородности и изотропии, наряду с предположением о неизменности свойств космологической модели во времени. Статичность модели достигалась за счёт введения в уравнения Эйнштейна т.н.космологического члена (L-члена), характеризующего действие гипотетических сил отталкивания, способных противостоять силам тяготения. А. А. Фридман показал в 1922 г., что статический мир Эйнштейна является лишь частным решением гравитационных уравнений для однородных и изотропных моделей, а в общем случае решения зависят от времени. Более того, если не вводить L-члена, то решения обязаны быть зависящими от времени. Поскольку эти решения описывают усредненное распределение вещества в Метагалактике, то отсюда следует вывод о ее нестационарности. В отсутствие градиентов давления и любых др. сил, противостоящих тяготению, статичность системы невозможна. Её поведение определяется силами притяжения и начальными условиями. Начальные условия могут быть заданы так, что начальное расширение будет либо продолжаться неограниченно долго, либо сменится в конце концов сжатием. Нестационарные решения уравнений Эйнштейна, основанные на постулатах однородности и изотропии, наз. фридмановскими решениями или фридмановскими космологическими моделями.
При выводе соответствующих уравнений наблюдаемое распределение галактик и межгалактического вещества заменяют идеализированной сплошной средой с плотностью r и давлением p. Связь между r и p устанавливается уравнением состояния, которое на отдельных участках изменения r и р принимают в виде p = arc2, где a = const. Напр., для пылевидного вещества p = 0 (a = 0), для излучения p = l/3rc2 (a = 1/3)- Для удобства анализа протекающих процессов выбирают т. н. сопутствующую систему координат, т.е. систему координат, которая сама деформируется, а вещество относительно неё не движется. В сопутствующей системе координат все "потенциалы" гравитационного поля (компоненты метрического тензора) определяются через единственную неизвестную функцию R(t), которая играет роль общего масштабного фактора. Она указывает закон, по которому меняется со временем расстояние между точками, имеющими пост. значения сопутствующих координат. Элементы среды имеют неизменную разность сопутствующих координат и разделены постоянным интервалом dl, а физ. расстояние dL(t) между этими элементами среды изменяется со временем по закону dL(t) = R(t)dl. Кривизна трёхмерного пространства также определяется функцией R(t). Кривизна при некотором t = t* равна k/R2 (t*), где значениям k = +1, 0, -1 соответствует положительная, нулевая и отрицательная кривизна. При k = +1 объём трёхмерного пространства конечен и в каждый момент времени выражается формулой V = 2p2[R(t)]3.
В релятивистской космологии изменение z частоты света, испущенного в момент времени t с частотой v и принятого в момент времени t0 с частотой v0, выражается формулой:
z = (1)
Для описания эволюции космологической модели необходимо знать функцию R(t). Она определяется уравнениями Эйнштейна. Если считать L = 0, то уравнения Эйнштейна можно привести к двум независимым уравнениям:
rR3(1-a)=const,(2)
(3)
Их следствием является уравнение
(4)
явно указывающее на роль давления в создании гравитационного поля (р = arс2). В этих уравнениях "постоянная" Хаббла H(t) определена как
H(t) = (5)
Удобно ввести параметр W = r/rс. При известном значении a функция R(t) полностью определяется значениями величин W и H в какой-либо момент времени. В настоящее время наблюдается расширение Вселенной. Характер дальнейшей эволюции зависит от величины W. Если W Ј 1, то расширение будет продолжаться неограниченно долго, если W > 1, то оно сменится сжатием. Величина W определяет также, согласно (11), знак k, т. е. знак кривизны пространства сопутствующей системы отсчёта. Для современной эпохи rc » 5.10-30 г/см3 при Н = 50 км/(с.Мпк). Из подсчётов числа галактик (а также по данным о распространённости дейтерия) следует, что r < rс и W » 0,03-0,06. Это значение соответствует открытому миру (k = -1) и неограниченному расширению Метагалактики. Однако во Вселенной могут присутствовать не обнаруженные ещё виды материи, дающие свой вклад в плотность r. На основании всех имеющихся сейчас наблюдательных и теоретических сведений полагают, что W0весьма близок к 1, так что k » 0.
В случае a = 0, т. е. р = 0, релятивистские уравнения (2) и (3) совпадают по форме с нерелятивистскими. Следует помнить, что интерпретация входящих туда величин и соотношений, вытекающих из этих уравнений, совпадает с нерелятивистской лишь для не слишком протяжённых областей и промежутков времени. Однако космология интересуется именно случаем максимально больших расстояний и промежутков времени. Т.о., современная космология по необходимости является релятивистской.
В частности, формула z = H.r/c для связи расстояния и красного смещения оказывается лишь линейным по z членом разложения точной формулы (1). При малых zпод величиной r здесь можно понимать обычное расстояние в евклидовом пространстве. При измерениях внегалактических расстояний чаще всего используют связь между истинной светимостью объекта l и видимым потоком излучения i либо связь между его истинным диаметром D и видимым угловым диаметром J. В соответствии с этим существуют понятия фотометрического расстояния rФ = (I/4pi)1/2 и расстояния по угловому диаметру rу = D/J, причём rФ = (1 + z)2rу. В евклидовом пространстве и для неподвижного источника r = rФ = rу. В релятивистской космологии эти равенства выполняются приближённо, тем точнее, чем меньше z. Пользуясь, например, фотометрическим расстоянием, можно вывести связь rФ с z, доступную проверке в наблюдениях далёких галактик и, с др. стороны, позволяющую судить о параметрах космологической модели.
С учётом квадратичных по z членов из (9) получают приближённую формулу
rФ = ,
где q = 1/2 W (1 + 3a) - т. н. параметр замедления, определяющий скорость торможения расширяющейся Вселенной в рассматриваемой модели.
К сожалению, имеющихся наблюдательных данных недостаточно для получения точной зависимости rФ(z) и надёжного определения величины W. Хотя в современную эпоху a мало и им можно пренебречь, главная неопределённость связана с тем, что расстояние rФ определяют по видимым светимостям объектов в предположении, что их истинные светимости известны. Однако для далёких объектов, наблюдаемых на ранней фазе их развития, существенным является неизвестный фактор эволюции - зависимость светимости от времени. Т.о., определение параметра W из наблюдений зависит от неизвестного фактора эволюции.
В релятивистской космологии эволюция модели определяется не только плотностью r, но и давлением р, т. космология давление (поток импульса материи), согласно ОТО, "весит" - обладает способностью создавать гравитационное поле [см.уравнение (4)]. В прошлом, когда вклад реликтового излучения в полную плотность материи был доминирующим, давление определялось излучением: p = 1/3rc2. Конечно, положительное давление не могло вызвать наблюдаемого расширения Метагалактики, поскольку оно, в силу своего гравитационного воздействия, не ускоряет расширение, а, наоборот, замедляет его. Качественно зависимость R(t) при p > 0 имеет тот же характер, что и при р = 0. Следует отметить, что сейчас обсуждаются теоретические модели, согласно которым состояние материи в очень далёком прошлом соответствовало значению р < 0, и тогда характер эволюции R(t) существенно меняется.
Вероятно, самым значительным свойством однородных изотропных моделей является ограниченность их эволюции во времени и наличие особых (сингулярных) состояний, в которых R(t) обращается в нуль, а плотность материи - в бесконечность. Одно время считали, что наличие сингулярностей является следствием упрощающих задачу предположений об однородности и изотропии Вселенной. Однако теоретические исследования уравнений Эйнштейна, проведённые в последние два десятилетия, указывают на то, что сингулярности является общим свойством решений этих уравнений при выполнении некоторых дополнительных предположений о свойствах материи. Конечно, вблизи сингулярности решения классических уравнений неприменимы, там должны проявляться квантовые свойства гравитационного поля.
Ограниченность эволюции во времени приводит к понятию возраста Вселенной. В простейшей модели с k = 0, р = 0 из уравнений (10) и (11) с учётом (13) следует: t0 =2/3 Н-10, т. е. от сингулярности до современной эпохи прошло время t0 » 13.109 лет.
Изменение расстояния до горизонта
во Вселенной со временем.
Конечность времени, протекшего с момента сингулярности, приводит к существованию т. н. космологического горизонта (или, просто, горизонта) во Вселенной. Действительно, любые сигналы, распространяющиеся с предельной скоростью, равной скорости света, успевают прийти к наблюдателю к моменту t0 с конечного расстояния. Макс. расстояние (расстояние до горизонта) определяется тем, что сигнал был испущен при t = 0 (рис). При этом смещение частоты сигнала, испущенного при t = 0 и принятого в момент t0, согласно формуле (1), обращается в бесконечность. Наряду с возрастом t0 теория рассматривает характерный размер, по порядку величины совпадающий с ct0, который определяет область пространства, принципиально доступную наблюдениям к моменту времени t0. С течением времени эта область, очевидно, увеличивается. Космологический горизонт указывает, т. о., масштаб, который надо иметь в виду, говоря о крупномасштабной структуре Вселенной. В настоящее время ct0 » c/H0 » 6000 Мпк » 2.1028 см [при H0 = 50 км/(с.Мпк)]. Современные астрономические наблюдения, если сюда включать и наблюдения реликтового радиоизлучения, распространяющегося свободно с эпохи z = zr, охватывают значительно больше половины всего доступного (в принципе) для наблюдений объёма пространства.
Изменение расстояния до горизонта
во Вселенной со временем.
Конечность времени, протекшего с момента сингулярности, приводит к существованию т. н. космологического горизонта (или, просто, горизонта) во Вселенной. Действительно, любые сигналы, распространяющиеся с предельной скоростью, равной скорости света, успевают прийти к наблюдателю к моменту t0 с конечного расстояния. Макс. расстояние (расстояние до горизонта) определяется тем, что сигнал был испущен при t = 0 (рис). При этом смещение частоты сигнала, испущенного при t = 0 и принятого в момент t0, согласно формуле (1), обращается в бесконечность. Наряду с возрастом t0 теория рассматривает характерный размер, по порядку величины совпадающий с ct0, который определяет область пространства, принципиально доступную наблюдениям к моменту времени t0. С течением времени эта область, очевидно, увеличивается. Космологический горизонт указывает, т. о., масштаб, который надо иметь в виду, говоря о крупномасштабной структуре Вселенной. В настоящее время ct0 » c/H0 » 6000 Мпк » 2.1028 см [при H0 = 50 км/(с.Мпк)]. Современные астрономические наблюдения, если сюда включать и наблюдения реликтового радиоизлучения, распространяющегося свободно с эпохи z = zr, охватывают значительно больше половины всего доступного (в принципе) для наблюдений объёма пространства.
Отредактировано Владимир53 (Пятница, 6 января, 2012г. 15:54)
